martes, 20 de abril de 2010



Unes de les eines més potents en matemàtiques són les Equacions Diferencials. A diferència de les equacions "normals", aquestes relacionen les derivades d'una o més variables dependents respecte a una o més variables independents (derivada: variació d'un o més paràmetres respecte a una o més variables). Les solucions són, doncs, dinàmiques i el seu èxit dins de la matemàtica aplicada rau, precisament, en fer de paradigma per l'estudi d'un Univers dinàmic, canviant. De fet, totes les teories realment maques que tenim fins ara es construeixen a partir d'aquestes equacions, des de les equacions d'en Maxwell fins la teoria de la Relativitat passant per la formulació de Newton, Hamilton i Lagrange, de la Mecànica clàssica i arribant a la famosa equació de Schrödinger de la Mecànica Quàntica (o el seu equivalent, realment brillant i enlluernador, de la formulació matricial de Heisenberg).

Algunes d'aquestes equacions, però, tenen un aspecte realment inquietant. Quan fixem uns valors inicials i fem que l'ordinador calcule solucions (sovint és gairebé impossible fer-ho a mà), ens trobem amb certes sorpreses com ara la seva dispersió incontrolada, és a dir, ens trobem amb el caràcter indeterminista de natura. De fet, diem que si les solucions no es poden acotar a partir dels valors inicials i presenten fortes diferències amb petites variacions d'aquests, tenim un seriós problema d'estabilitat, o millor, d'inestabilitat. Per exemple, tots sabem que el Sistema solar té una imatge fixa i estable, amb unes òrbites ben definides. Resulta, però, que aquesta imatge d'estabilitat pot desaparèixer amb petits canvis en els valor de contorn que defineixen la solució que veiem en forma d'òrbites el·líptiques; resulta que el Caos és perfectament possible en un sistema tan estable, maco i poètic com ara "la música de les esferes".

Un d'aquests models regulat per un sistema d'equacions diferencials és aquell que intenta fer prediccions meteorològiques. Va ser Edward Lorentz qui es va adonar, allà pels 60, del caràcter inestable de les seves solucions; de la seva tendència envers comportaments caòtics (aquest és el motiu pel qual els amics del Temps mai s'atreveixen a fer prediccions a llarg termini, malgrat la potència de l'ordinador que facin servir per tal de fer els càlculs. I és important captar aquest punt: no depèn de la potència de càlcul de la computadora utilitzada sinó del comportament bàsicament inestable i caòtic del sistema meteorològic). Per cert, crec que va ser Lorentz qui li va posar a aquest fenomen el nom d'efecte papallona, afirmant que si una papallona mou les ales en un extrem de la Terra, el clima a l'altre extrem pot variar de manera dràsticament incontrolable. 

Incontrolable? Sempre m'he fet aquesta pregunta. Imagineu que aquesta cara de natura sigui la que veiem quan només mirem amb els ulls de la ment (per més poderosa que aquesta sigui). Imagineu que hi ha una estructura no tetradimensional que estem passant per alt i que dóna al sistema físic allò que sembla faltar-li. Imagineu que les equacions diferencials són una simple i més que modesta aproximació d'una altra cosa. I potser sigui aquesta cosa la que va intentar trobar l'Einstein fins l'últim sospir. Potser.

I ja m'estic estenent més del compte. Si voleu aprofundir, podeu fer-li una ullada al concepte d'atractor (i la seva vinculació amb el determinisme, cercat intensament pels humans). També a l'estabilitat de Liapunov. I si fet açò encara us queden ganes, podeu anar al meravellós i profund teorema de Liouville (pareu esment al concepte d'espai de fases d'un sistema) 


PS: Implicacions psicològiques i aplicació al caràcter caòtic dels grups humans; aplicació a una possible explicació entre psicologia "individual" i social. Queda obert.

9 comentarios:

MySelf dijo...

Ara mateix la meva ment és d'una dispersió incontrolada i el comportament de la meva psique és altament caòtic però a la vegada molt estable.Acabo de variar els meus valors inicials a cada frase i el meus pensaments s'han fet inestables i no puc comentar-te res més coherent, de moment...

Un "atractor" alienígena m'acaba de posseir i estic a l'espera que mitjançant l'escriptura automàtica em proporcioni una solució lo suficientment dinàmica com per a què pugui lligar unes quantes frases amb sentit...

De moment la meva estructura tridimensional només em permet veure elefants voladors i alguna que altre papallona amb quatre potes...

Conclusió: donam una mica de temps, que acabo d'arribar de treballar!!!!, jajajaja

Petonàs

MySelf dijo...

Bé Valaf, després d'aquesta descàrrega inicial, estic en condicions de dir alguna cosa.

Tenim un munt de variables, unes inicials i altres que sent dependents o independents es relacionen amb elles.

Ens trobem amb un problema de base i qualsevol variació en las variables inicials i relacionades, varien el conjunt. Es descontrola el problema i allò que ens funcionava abans per donar una solució apropiada, ja no ens serveix. Hem de trobar una nova solució.

És a dir, no hi han solucions úniques i depenent del moment, hem de procurar cercar una altra solució que ens ajudi a entendre el problema. S'ha de dir que el problema sempre és el mateix. Per tant, ens carreguem de cop la filosofia conductista, perquè la ment no és una caixa negra (Pavlov s'aixeca de la seva tomba i comença a plorar...)

Són les solucions dinàmiques les que ens porten sens dubte a recuperar la estabilitat perduda. Per tant els sistemes inestables que sovint ens posseïxen, deixen de comportar-se manera caòtica i recuperen la estabilitat inicial.

Res més per ara.

mágico dijo...

Sí, swamiji, sembla ser que se'ns escapen massa coses per alt, sigui pel nostre reduït cervell o per la immensitat inabarcable de la realitat. Si aquestes equacions són un petit vestigi d'una mica més, una nota musical que reclama l'acord, esperarem al lumbreras que les descodifiqui i tan bon punt ens les expliqui. O millor dit, que te les expliqui a tí i tu ens ho contes que segur ho entendrem millor.
Em salto lo del concepte d'actractor i al Liapunov eixe i vaig directament a mirar lo del teorema de Liouville. Després et conto...

MySelf dijo...

Noi, el meu sistema després d'aquestes petites variacions futboleres, m'han deixat cao. Demà serà un altre dia. A veure si la meva xarxa neuronal creix i es produeix un salt qualitatiu, i si no quantitatiu de paraules...

Passeu bona nit!

lali dijo...

M´he quedat tant enganxada al teu escrit, que he cremat el sopar!!!!jajajaja
Anomeneu moltes teories i raoneu amb una eloquencia que a mi s´hem escapa. Pero entenc que la vida es dinamica, que no es poden controlar totes les variables, i no sera aixo la magia de la existencia, tant a nivell huma com a nivell cosmic ?...es aixo el que mou tot el estudi cientific.sobre tot la matematica, oi? que busca sempre saber mes i mes , no se si per intentar controlar o per intentar predir, la esencia de la propia existencia com a concepte basic ?

Gracies per deixar-me participar de forma tant simple(no en se mes)


mil petons

MySelf dijo...

Hola Valaf, em sembla que avui no m'ha crescut la xarxa neuronal. Alguna cosa m'inquieta i no sé ben bé que és.

Passa una bona tarda!

Valaf dijo...

Lali, sempre ets benvinguda, d'ença que vaig començar a pulular per la xarxa.
Dius que no saps més però has donat amb la clau del post. Meravellós.

Efectivament, la matemàtica intenta descobrir (o inventar?) les relacions bàsiques del Cosmos manifestat...però es troba amb carrerons sense sortida, com ara aquestes aproximacions asimptòtiques a certes solucions. Aproximacions, he dit, potser no hi ha paraula més maleïda per un matemàtic (i per a un físic que no tingui vocació de mecànic superior, és a dir, d'enginyer).

La matemàtica sempre ha estat molt relacionada amb la mística, de fet, tenen un camp d'experiència semblant.

M'afalaga molt això que dius del sopar...jo creia que havia escrit una pedra. Moltes gràcies, Lali.

Una abraçada.

Valaf dijo...

Caram!

És pel text? Si alguna cosa està una mica xunga m'ho dius i ho canvio.

Una abraçada.

Ojcar dijo...

valaf y su cabeza cuadrada. (ojcar y su manera de tocar cojones ajenos)